Maturità, seconda prova: ecco le soluzioni dei compiti di matematica del liceo scientifico

Finita la seconda prova per gli studenti del liceo scientifico che hanno dovuto affrontare due problemi di analisi matematica e geometria analitica e 10 domande. I maturandi hanno dovuto affrontare un primo problema che riguardava calcoli di analisi matematica e geometria analitica. Il secondo, è, invece, più incentrato sulla geometria. Ecco le soluzioni dei quesiti, divisi per indirizzi, che sono apparse sul sito di studenti Scuolazoo.it.

Liceo scientifico tradizionale

Quesito n. 1:
Un polinomio di grado n può essere scritto nella forma: pn(x) = an * xn + an-1 * xn-1 + … + a2 * x2 + a1 * x + a0 Per derivare il polinomio, poiché l’azione di derivazione è lineare, è sufficiente allinearla ad ogni addendo ai * xi. Osservando il primo termine an * xn, avremo: p’ n(x) = n * an * xn-1 La derivata seconda sarà: p’’ n(x) = n(n-1) * an * xn-2 E così via. Osserviamo che il coefficiente an viene moltiplicato per il fattore n * (n-1) * (n-2) * … Ma questa è proprio l’espressione del fattoriale: n!

Quesito n.2:
”Siano ABC un triangolo rettangolo in A, r la retta perpendicolare in B al piano del triangolo e P un punto di r distinto da B . Si dimostri ke i tre triangoli PAB,PBC,PCA sono triangoli rettangoli.”

Soluzione quesito n.2:
Dimostro che i 3 triangoli sono rettangoli con la definizione della retta r. La retta giace perpendicolare al piano del triangolo ABC,è evidente che l’angolo formato dalla retta medesima con qualsiasi segmento giacente nel piano ABC sarà di 90°. Avremo quindi il triangolo PAB rettangolo in B e PBC rettangolo in B. Il triangolo PCA sarà rettangolo in A, infatti è ottenuto dal triangolo ABC mediante omotetia lungo l’asse AB.

Quesito n.4:
“Si calcoli lim con x ->infinito di 4xsin1/x”

Quesito n.5:
“Sia G il grafico di una funzione x –> f(x) con x appartenente a R. Si illustri in che modo è possibile stabilire se G è simmetrico rispetto alla retta x = k”

Soluzione quesito n.9:
1) NON esiste. se aBc = 45° e ABC è rettangolo, esso avrebbe il terzo angolo = 180- (90+45) = 45°. Il triangolo, avente quindi 2 angoli alla base congruenti, sarebbe isoscele. Usando pitagora si avrebbe per cui che la radice 2^2 + 2^2 = 3, il che è errato. 2) I due triangoli avranno saranno rettangoli del tipo 30-60-90, il lato BC sarà per il primo radice di 5, per il secondo radice di 13

Quesito n.10:
“Si consideri la regione delimitata da y=radicalx , dall’asse x e dalla retta x=4 e si calcoli il volume del solido che essa genera ruotando di un giro completo intorno all’asse y.”